典型例题：变上限积分求导与极限综合
题目回顾：设函数 在 上连续，且 ，证明存在 ，使得 。
解析思路：
- 构造辅助函数：观察待证式子 ，这正是 的形式。因此，构造辅助函数 。
- 验证罗尔定理条件：
1. 在 上连续（因为 连续）；
2. 在 内可导（因为 可导）；
3. 检查端点值：；由积分中值定理或题目条件 ，结合 ，此处需结合具体题目条件调整，若题目为 ，则需进一步分析。
- 应用罗尔定理：若满足 ，则存在 使得 ，即证。
⚡ 考点提示：本题核心在于识别导数形式并构造辅助函数，是考研数学二证明题的经典考法。
典型例题：多元函数极值判定
题目回顾：求函数 的极值。
解析步骤：
- 求偏导数：
- 解方程组求驻点：
令 和 ，解得驻点为 和 。
- 求二阶偏导数：
- 判别极值：
对于点 ：，，判别法失效，需进一步讨论。
对于点 ：，，判别法失效。
注：此处为示例，实际考题可能设计为判别法有效的情形，如驻点为(1,1)等，具体需参照原题数据。
总结：多元函数极值问题是高频考点，务必熟练掌握 AC-B² 判别法的应用条件及特殊情况处理。
典型例题：特征值与二次型
题目回顾：已知3阶矩阵 的特征值为 ，求 的值。
解析思路：
- 利用特征值性质：若 是 的特征值，则 是 的特征值。
- 转换目标矩阵特征值：
1. 的特征值为 。已知 。
2. 所以 的特征值为 。
3. 的特征值为 。
4. 的特征值为 。
- 计算多项式特征值：
对于 : 对应 , 对应 , 对应 。整体特征值 。
对于 : 对应 , 对应 , 对应 。整体特征值 。
对于 : 对应 , 对应 , 对应 。整体特征值 。
- 求行列式：行列式等于特征值之积，即 。
⚡ 技巧提示：涉及矩阵多项式行列式计算，优先转化为特征值计算，避免直接求逆矩阵或矩阵乘法。